Читаем Значимые фигуры полностью

Посмотрим на примере. Число 14 сравнимо (по-прежнему все происходит по модулю 4) с 2, а число 23 – с 3. Их сумма равна 37 и должна быть сравнима с 1. Так и есть: 37 = 4 × 9 + 1. Произведение этих чисел равно 322 = 4 × 80 + 2.

Возможно, это звучит немного глуповато, но такая система позволяет нам отвечать на вопросы о делимости на 4 при помощи всего лишь этих четырех «классов сравнимости». Применим эту идею к простым числам, представляющим собой сумму двух полных квадратов. Любое целое число сравнимо (по модулю 4) с 0, 1, 2 или 3. Следовательно, их квадраты сравнимы с квадратами этих четырех чисел, то есть с 0, 1, 4 или 9, а те, в свою очередь, сравнимы с 0, 1, 0, 1 соответственно. Перед вами очень быстрый и очень простой способ доказать, что любой квадрат имеет вид 4k или 4k + 1, в старой терминологии. Но это еще не все. Суммы двух квадратов, следовательно, сравнимы либо с 0 + 0, 0 + 1, либо с 1 + 1; то есть с 0, 1 или 2. Здесь обращает на себя внимание отсутствие 3. Мы доказали, что сумма двух квадратов не может быть сравнима с 3 по модулю 4. Мы видим, что таким образом утверждение, которое на первый взгляд кажется довольно хитрым и неочевидным, и в модульной арифметике становится тривиальным.

Если бы этот метод был ограничен сравнимостью по модулю 4, в нем, конечно, не было бы особого смысла, но 4 можно заменить на любое другое число. Если вы, к примеру, выберете число 7, то каждое число будет сравнимо по модулю 7 с каким-нибудь числом из точно известного набора: 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Здесь опять же можно предсказать класс сравнимости суммы или произведения чисел по их собственным классам сравнимости. Так что можно производить арифметические действия (а следовательно, и алгебраические) с использованием классов сравнимости вместо чисел.

В руках Гаусса эта идея стала краеугольным камнем далеко идущих теорем о числах. В частности, она привела его к одному из самых впечатляющих открытий, сделанному в возрасте 18 лет. Задолго до Гаусса Ферма, Эйлер и Лагранж обращали внимание на эту закономерность, но никто из них не привел доказательство. Гаусс доказательство вывел и опубликовал в 1796 г., когда ему было 19 лет; всего он нашел шесть доказательств. Для себя он называл эту теорему Theorema Aureum, то есть Золотая теорема. Ее официальное название, гораздо более неуклюжее и менее подходящее для новостных заголовков, – Квадратичный закон взаимности. Это инструмент, помогающий ответить на один базовый вопрос: как выглядят полные квадраты для заданного модуля? К примеру, мы видели, что любой квадрат (modulo 4) равен либо 0, либо 1. Эти числа называют квадратичными вычетами (modulo 4). Остальные два класса, 2 и 3, – квадратичные невычеты. Если вместо 4 мы возьмем 7, то квадратичными вычетами (modulo 7) окажутся

(квадраты 0, 1, 3, 2 в этом порядке), а квадратичными невычетами –

В целом, если в качестве модуля используется нечетное простое p, вычетами является чуть больше половины классов сравнимости, а чуть меньше половины классов являются невычетами. Однако в том, какие числа попадают в вычеты, а какие – в невычеты, нет никакой очевидной закономерности.

Предположим, что p и q – нечетные простые числа. Можно задать два вопроса:

Является ли p квадратичным вычетом по модулю q?

Является ли q квадратичным вычетом по модулю p?

Неясно, должны ли эти вопросы быть хоть как-то связаны между собой, но Золотая теорема Гаусса утверждает, что оба они имеют один и тот же ответ, если только оба числа p и q не имеют вида 4k + 3; если имеют, то ответы противоположны: один – да, другой – нет. Теорема ничего не говорит о том, каким именно должен быть ответ; речь идет только о связи между ними. Но даже в этом случае, при некоторых дополнительных усилиях, Золотая теорема приводит к эффективному методу определения, является ли заданное число квадратичным вычетом по модулю другого заданного числа или нет. Однако если число является квадратичным вычетом по модулю другого числа, то этот метод не подскажет вам, какой именно квадрат нужно использовать. Даже такой базовый вопрос, как этот, скрывает в себе глубокие тайны.

Сердце «Арифметических исследований» – тщательно проработанная теория арифметических свойств квадратичных форм – всевозможных хитроумных вариаций на тему «суммы двух квадратов», – которая с тех пор успела развиться в несколько обширных и сложных теорий, тесно связанных со многими другими областями математики. На случай, если все это представляется вам ужасно заумным, поясню, что квадратичные вычеты играют важную роль, к примеру, в обеспечении хорошей акустики в концертных залах. Они говорят нам, какую форму следует придать отражателям и поглощателям звука на стенах. А квадратичные формы лежат в основе всей современной математики, как теоретической, так и прикладной.