Читаем Значимые фигуры полностью

Некоторое время Гаусс всерьез интересовался сразу двумя областями – математикой и языками. Он самостоятельно открыл (без доказательств) пять или шесть важных математических теорем, в том числе закон квадратичной взаимности в теории чисел, о котором я расскажу позже, и высказал гипотезу о простых числах, согласно которой количество простых чисел, меньших x, приблизительно равно x/log x. Эту гипотезу независимо друг от друга доказали в 1896 г. Жак Адамар и Шарль де ла Валле-Пуссен. В 1795 г. Гаусс оставил Брауншвейг, чтобы начать учебу в Университете Гёттингена. Его профессор Авраам Кестнер в основном писал учебники и энциклопедии и не занимался исследовательской работой. Гаусс был о нем невысокого мнения и не скрывал этого. Он уже уверенно двигался в направлении карьеры лингвиста, когда боги математики весьма наглядно пришли ему на помощь с семнадцатиугольником.

* * *

Чтобы понять, насколько радикальным было открытие Гаусса, нам нужно вернуться на две с лишним тысячи лет назад, в Древнюю Грецию. Евклид в «Началах» систематизировал и привел к единому виду теоремы великих греческих геометров. Он был ярым поборником логики и утверждал, что все должно быть доказано. Ну, почти все. С чего-то нужно начинать, и начинают обычно с предположений, которые не доказываются. Такие предположения Евклид подразделил на три типа: определения, общепринятые положения и постулаты. Мы сегодня называем утверждения двух последних типов аксиомами.

На базе таких предположений Евклид проработал значительную часть греческой геометрии, шаг за шагом. На наш современный взгляд, кое-каких допущений у него все же недоставало – довольно тонких допущений, таких как «если прямая проходит через некую точку внутри окружности, то эта прямая, если ее продолжить достаточно, должна с этой окружностью пересечься». Но если оставить мелочные придирки, Евклид проделал замечательную работу, выведя далеко идущие следствия из простых принципов.

Вершиной «Начал» стало доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников – объемных фигур, гранями которых являются правильные многоугольники, одинаково организованные в каждой вершине. Перечислим эти пять фигур: тетраэдр с четырьмя гранями – равносторонними треугольниками; куб с шестью квадратными гранями; октаэдр с восемью гранями – равносторонними треугольниками; додекаэдр – двенадцатигранник с правильными пятиугольниками в качестве граней; и икосаэдр с двадцатью гранями – равносторонними треугольниками. Отметим, что если вы являетесь Евклидом и настаиваете на логических доказательствах, то вы не сможете построить трехмерную геометрию додекаэдра, если предварительно не разобрались в двумерной геометрии правильного пятиугольника. В конце концов, додекаэдр построен из двенадцати правильных пятиугольников. Так что прежде, чем приступать к настоящему делу – к правильным многогранникам, вам придется разобраться с правильными пятиугольниками и многими другими премудростями.

Среди базовых допущений Евклида имеется невысказанное, но безусловное ограничение на способы построения геометрических фигур. Все делается при помощи только прямых линий и окружностей. По существу, при построении разрешается пользоваться только линейкой и циркулем. Геометрия Евклида представляет собой математическую идеализацию, в которой прямые линии всегда бесконечно тонки и идеально прямы, а окружности бесконечно тонки и идеально круглы. Так что про Евклидовы построения никак не скажешь, что они сойдут, мол, для сельской местности; они точны, то есть достаточно хороши даже для проверки бесконечно педантичным сверхразумом с бесконечно мощным микроскопом.

* * *

Подход Гаусса к правильным многоугольникам основан на открытии Декарта, которое гласит, что геометрия и алгебра – две стороны одной монеты, связанные между собой координатами на плоскости. Прямая линия представляется уравнением, которому должны соответствовать координаты каждой ее точки. То же можно сказать об окружностях, только уравнение там получается посложнее. Если две прямые или окружности пересекаются, то точки их пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям. Если вы пытаетесь найти эти точки путем решения пары уравнений, то для двух прямых все получится достаточно просто. Если прямая пересекается с окружностью или если пересекаются две окружности, то вам придется решить квадратное уравнение. Для этого существует формула, и ее ключевое действие – извлечение квадратного корня. Остальное сводится к простой арифметике: сложить, вычесть, умножить, разделить.