Читаем Вечное Пламя полностью

– Значит, все наоборот, и количество возможных вариантов становится в два раза меньше, – сказала Патриция. – Комплексная волна только кажется двумерной; на самом деле она содержит только одно измерение.

– Четыре, деленное на два равно двум, – заметил Ромоло. – Если разделить пополам количество компонент обыкновенного 4-вектора, то получится наблюдаемое нами количество поляризаций. Это чем-то поможет?

Карла не была уверена, но проверить стоило.

– Предположим, что светородная волна состоит из двух комплексных чисел – по одному на каждую поляризацию, – сказала она. – У каждого из них есть вещественная и мнимая части, что в общей сложности дает нам четыре измерения.

– То есть четыре обычных измерения вы просто воспринимаете как две комплексных плоскости? – предположил Ромоло.

– Возможно, – ответила Карла. – Но что произойдет при повороте? Если поляризация светорода описывается двумя комплексными числами, и я физически переверну этот светород вверх ногами…, то как это повлияет на комплексные числа?

– Разве для этого не следует просто взять их вещественную и мнимую части и применить к ним обычные правила поворота векторов?

– Идея вполне логичная, стоит попытаться, – согласилась Карла. – Давайте посмотрим, сработает это или нет.

Простейший способ описания вращений в 4-пространстве заключался в использовании умножения и деления векторов, поэтому в качестве напоминания Карла воспроизвела у себя на груди соответствующие таблицы.

Любой поворот можно было реализовать, скомбинировав умножение слева на один вектор и деление справа на второй; выбором этой пары векторов определялся поворот в целом. Ромоло продемонстрировал это на примере, выбрав для обеих операций вектор Верх.

– Если мы хотим, чтобы это сработало, потребуется прояснить один момент, – осенило Карлу. – Если у нас есть пара комплексных чисел, и мы умножаем их на квадратный корень из минус единицы, то каждое из них преобразуется независимо от другого. Умножение никоим образом не перемешивает исходные числа – оно просто поворачивает комплексную плоскость на четверть оборота, превращая вещественные числа в мнимые, а мнимые – в вещественные. Следовательно, если мы собираемся отождествить две плоскости 4-пространства с комплексными плоскостями, нам потребуется некая эквивалентная операция.

– Но ведь я это только что нарисовал! – воскликнул Ромоло. – При умножении слева на вектор Верх содержимое плоскости Будущее-Верх поворачивается на четверть оборота, так же, как и содержимое плоскости Север-Восток. Векторы, изначально находящиеся в одной из этих плоскостей, остаются в ней и после поворота. Если проделать это дважды – возвести в квадрат – то в обеих плоскостях произойдет поворот на 180⁰, что эквивалентно умножению на минус единицу. Иными словами, мы можем считать, что эти плоскости играют роль пары комплексных чисел и использовать левое умножение на Верх в качестве квадратного корня из минус единицы!

Но Карле этого было недостаточно.

– Хорошо, само по себе это работает идеально. Но что произойдет, если физически повернуть и сам светород? Если я поворачиваю обычный вектор, а затем удваиваю его, результат должен быть точно таким же, как если бы я сначала удвоила вектор и только потом повернула, верно?

– Само собой. – Ромоло был озадачен, но затем понял, к чему она клонит. – То есть что бы мы ни использовали для умножения на корень из минус единицы, результат не должен зависеть от того, применяется ли умножение после поворота или до него?

– Именно.

На лице Патриции отразилось сомнение.

– Мне кажется, мы не сможем этого добиться, – сказала она. – Как быть с поворотом, который получается при умножении слева на Восток с последующим делением справа на Будущее? Будущее играет роль единицы, оно не влияет на результат, поэтому в итоге получается:

– Умножение на квадратный корень из минус единицы, согласно определению Ромоло, имеет вид:

– Комбинируя это с поворотом, имеем:

– Но если сначала выполнить поворот, а затем умножить результат на корень из минус единицы, то:

– Результат зависит от порядка, – заключила Патриция. – Поскольку при умножении двух векторов их порядок менять нельзя, эта штука будет постоянно здесь всплывать и все портить.

Она была права. На роль квадратного корня из минус единицы подходили и другие кандидаты, помимо предложенного Ромоло, но все они страдали от аналогичных проблем. Можно было умножать векторы слева или справа на Верх или Низ, Восток или Запад, Север или Юг; все эти случаи описывали поворот на 90⁰ в двух различных плоскостях. Но в каждом конкретном случае можно было указать поворот, для которого эта схема терпела крах.

Ромоло отнесся к своему поражению с юмором.

– Два плюс два равно четырем, но природе есть дело только до некоммутативного умножения.

Патриция стерла с груди вычисления, но Карла заметила, как она вынашивает в голове какую-то мысль.