Как показано на иллюстрации, каждое слагаемое этой суммы соответствует площади прямоугольника, и мы можем выразить площадь подграфика функции с любой точностью.

Также в книге определяются и рассматриваются несобственные интегралы, главные значения несобственных интегралов и сингулярные интегралы, основная теорема анализа, формула Тейлора и так далее. Коши продемонстрировал функцию

ряд Тейлора для которой в точке 0 сходится, но отличается от функции в окрестности нуля. Это доказывает невозможность выстраивания анализа бесконечно малых поверх прочной основы, предложенной Лагранжем.

Мы не будем говорить о других работах Коши и резюме его лекций, а расскажем о значимости его трудов в формировании основы анализа бесконечно малых.

Несомненно, его попытки логически обосновать анализ бесконечно малых были значимым этапом, но тем не менее не окончательным. Нильс Абель, великий норвежский математик, одним из первых обратил внимание на важность работ Коши, отметив их строгость и вместе с тем неполноту. Одновременно с этим он указал, в чем именно заключаются недостатки работ Коши. Это был очередной шаг вперед на пути, который полностью был пройден в середине XIX века с появлением работ Вейерштрасса. Окончательное и четкое определение вещественных чисел было дано еще два десятилетия спустя. Сам Абель в статье, опубликованной в 1826 году, доказал, что одна из теорем «Курса анализа» Коши «допускала исключения» (оцените дипломатичность формулировки!). Эта теорема Коши была не единственной, «допускающей исключения».

УПРЯМ, НО ТОЧЕН

В статье о биноме Ньютона, опубликованной в 1826 году, он пишет: «Курс анализа» Коши следует прочитать всякому аналитику, который хочет действовать в своих математических исследованиях со всей строгостью».

^{Банкнота в 500 норвежских крон, на которой изображен Абель.}

Однако усилия Коши по приданию математическому анализу большей строгости были лишь очередным промежуточным этапом развития этой дисциплины. Доказательством этому служит то, что исследователи работ ученого не пришли к единому выводу об истинности или ошибочности его теорем. Это кажущееся противоречие вызвано тем, что определения, представленные Коши в «Курсе анализа», были неточными и нечеткими и порой допускали несколько толкований. Неоднозначность этих определений лучше всего объясняет Айвор Граттангиннес: «Достаточно сказать, что использованные им технические термины заслуживают внимания, и в теореме Коши, как и во всем его анализе, они применяются крайне свободно».

Эйлер, Коши и эстетическая ценность математики

Следует рассказать и об эстетическом начале, поскольку, вопреки мнению многих, эстетика не только не чужда математике, но и составляет ее значимую часть.