Читаем Истина в пределе полностью

В качестве основного понятия анализа бесконечно малых Коши предложил понятие предела, которое определил так: «Когда последовательные значения переменной бесконечно приближаются к конкретному значению так, что в итоге отличаются от него на произвольно выбранную величину, последнее значение называется пределом остальных».

Используя понятие предела, Коши определил бесконечно малые как переменные, которые стремятся к нулю: «Когда последовательные значения переменной бесконечно уменьшаются так, что становятся меньше любой заданной величины, эта переменная называется бесконечно малой. Предел таких переменных равен нулю».

Он также ввел понятие предела последовательности, которое с дополнениями Вейерштрасса используется и сейчас. Коши также установил, что можно говорить о сумме ряда лишь в том случае, когда он сходится, и определил ее как предел последовательности частичных сумм ряда.

На пятистах страницах «Курса анализа» также приводятся определения непрерывной функции, комплексного числа, формулируются критерии сходимости рядов и так далее.

Работы Коши о сходимости рядов вызвали большое возбуждение. Рассказывают, что после собрания Французской академии наук, где ученый изложил свои идеи о сходимости рядов, обеспокоенный Лаплас заперся у себя дома и не выходил, пока не проверил, что все ряды, использованные им в «Небесной механике», сходятся, и лишь тогда вздохнул с облегчением.

Коши планировал, что «Курс анализа» будет состоять из двух томов, но неблагоприятные отзывы заставили его отказаться от написания второго тома. Суть критики сводилась к тому, что книга, по мнению руководства Политехнической школы, не подходила для образования будущих инженеров. Поэтому Коши решил пересмотреть идею о публикации второго тома и вместо этого выпустил дополнение к «Курсу анализа», представлявшее собой краткое изложение его лекций. Первый том увидел свет в 1823 году под названием «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых», где давалось современное определение производной как предела

когда h стремится к 0.

КОШИ: СТРОГОСТЬ ПРЕВЫШЕ ВСЕГО

^{Французская марка, выпущенная в честь 200-летия со дня рождения Коши.}

В «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» также приводится определение интеграла непрерывной функции

как предела сумм Коши:

где a < х₁ < х₂ < … < x_n-1 < b — разбиение интервала [а, b], а искомый интеграл рассчитывается как предел при разбиении интервала на отрезки, длины которых стремятся к 0.