Читаем Гаусс. Теория чисел полностью

1. Р относительно ΝΡ. Сформулирована Стивеном Куком в 1971 году. Возможно, это центральная проблема наук о вычислении. В основном математические проблемы сегодня классифицируются по классам Р и ΝΡ. Класс Р содержит все проблемы, которые могут быть решены с помощью алгоритма за полиномиальное время. Это означает, что число итераций ограничено многочленом, в котором переменная — «размер» проблемы. Эти проблемы решаемы с помощью компьютеров. Класс ΝΡ сформирован теми проблемами, для которых не существует алгоритмов в полиномиальном времени, но если у нас есть возможное решение проблемы из этого класса, то мы можем определить, хорошее оно или нет, за полиномиальное время. Из предыдущего определения следует, что любая проблема Р также является проблемой ΝΡ, тο есть любая проблема, решаемая в полиномиальном времени с помощью правильно подобранного алгоритма (Р), — это также проблема, которая допускает быструю проверку возможного решения (ΝΡ). Задача заключается в том, чтобы доказать (или опровергнуть), что любая проблема ΝΡ также является проблемой Р.

2. Гипотеза Ходжа. Связана с исследованием форм сложных объектов с помощью приближения на основе сочетания самых простых геометрических блоков возрастающей размерности.

3. Гипотеза Пуанкаре. Предложена в 1904 году знаменитым французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912). В ее самом простом выражении говорится, что есть только одна компактная односвязная разновидность размерности 3 — трехмерная сфера. Это единственная решенная проблема в списке — корректное доказательство в 2003 году представил российский ученый Григорий Перельман (р. 1966). За это открытие ему было решено вручить Филдсовскую премию, однако ученый от награды отказался.

4. Гипотеза Римана. В ней утверждается, что действительная часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана равна 1/2.

5. Задача Янга — Миллса. Поставлена как математическая задача и относится к изучению уравнений Янга — Миллса, крайне важных для объединения квантовой электродинамики с теорией электрослабого взаимодействия.

6. Задача Навье — Стокса. Изучение существования решения для основных уравнений движения вязких жидкостей.

7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. Состоит в изучении того, бесконечным или конечным является множество рациональных решений для эллиптической кривой.

При этом он начал с вычисления нетривиальных нулей функции и на основе этих вычислений и глубокого понимания сути дзета-функции предположил, что действительная часть любого нетривиального нуля функции равна 1/2. Это утверждение известно как гипотеза Римана.