Читаем Гаусс. Теория чисел полностью

но по результату Эйлера мы знаем, что сумма ряда конечна и на самом деле она равна π²/6, поэтому расстояние, которое должен пробежать Ахиллес, также конечно. Более того, расстояние, которое он пробегает до того, как догнать черепаху, — обозначим его через d — равно

d<=(1/2+π²/6) · D

Если мы выполним вычисления, получится, что d < 2,144 · D. Действительно, можно вычислить, что расстояние, которое пробегает Ахиллес, чтобы догнать черепаху, при его двойной скорости равно d = 2D.

Дзета-функция, которой пользовался Эйлер, — это действительная функция с действительным значением, то есть для действительного значения мы получаем результат, который также является действительным значением. Например, мы знаем, что

Благодаря этому можно изобразить функцию в виде графика на плоскости, которую математики обозначают R². Когда мы меняем область определения функции, то есть множество, в котором она принимает значения, на множество комплексных чисел, результат функции также становится комплексным числом. Если мы сочтем, как это сделал Эйлер, что комплексное число a + bi может быть представлено как пара (a, b) е R², и то же самое справедливо для ζ(α + bi), которое также является комплексным числом, то получается, что его графическое представление должно осуществляться в R⁴, то есть в пространстве из четырех измерений. Построение графиков в пространствах из четырех измерений нам недоступно, однако Риман смог вообразить эту функцию в четырех измерениях и понял, что существует связь между простыми числами и нетривиальными нулями функции, то есть теми, действительная часть которых лежит строго между 0 и 1.

ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ

Отмечая наступление нового тысячелетия, Институт Клэя выбрал семь математических задач, которые устояли перед всеми попытками их решения. Это было сделано в подражание Давиду Гильберту, который за 100 лет до этого определил перечень из 23 задач, ставших ориентиром для всех математиков XX века. Единственная задача, которая включена в оба списка, — это гипотеза Римана. Задачи тысячелетия охватывают самые важные области математики. Их перечень выглядит так.