Читаем Знак Вопроса 1997 № 02 полностью

Приведем основные определения по «Учебнику логики» Г. И. Челпанова, который был отмечен премией Петра Великого и выдержал девять дореволюционных изданий. Умозаключением называется выведение нового суждения из нескольких данных суждений, называемых посылками. Выводимое суждение называется заключением. «Силлогизм есть такая форма умозаключения, в которой из двух суждений необходимо вытекает третье.»

Посылки и заключение силлогизма представляют собой суждения. К ним относятся следующие суждения:

1. «Все х суть Z» — общеутвердительное суждение.

2. «Ни один хне есть z» — общеотрицательное суждение.

3. «Некоторые х суть z» — частноутвердительное суждение.

4. «Некоторые х не есть z» — частноотрицательное суждение.

Например, суждение «Все ученые смертны» является общеутвердительным, а суждение «Некоторые ученые смертны» является частноутвердительным. При арифметизации будем кодировать утверждение числом +1, отрицание числом —1. В дальнейшем часто будем просто ставить «+» и «—". Отсутствие информации будем обозначать числом 0.

Частноутвердительному суждению соответствует положительный вектор, а общеотрицательному суждению — отрицательный вектор. Если обозначить: мученые, у = люди, z = смертные, то вектор (+ 0 +) будет обозначать частноутвердительное суждение «Некоторые ученые смертны» = «Некоторые х суть z», а вектор — (+ 0 —) — общеотрицательное суждение «Ни один ученый не бессмертен» = «Ни один х не есть не — z». Эти два вектора дают общеутвердительное суждение «Все ученые смертны» = «Все х суть z».

Получение логического заключения сводится к исключению термина-посредника «у» (среднего термина силлогизма). Приведем пример силлогизма, который состоит из общеутвердительных суждений:

«Все люди смертны»

«Все ученые — люди»

«Все ученые смертны»

В векторных обозначениях приведенный выше силлогизм может быть записан в следующем виде:

При решении проблемы разрешимости силлогизмов решающую роль играет принцип аннигиляции. Заключение следует из данных посылок при условии ровно одной аннигиляции при сложении или вычитании векторов.

В заключение получаем положительный вектор как разность (1,1,0) — (0,1, —1)= = (1,0,1), а отрицательный вектор — как знак суммы отрицательных частей (0,1, —1) + (1, ^_1,0) = (1,0, —1). Заключение принимается, когда сумма отрицательных частей или хотя бы одна перекрестная разность дает ровно один нуль.

Другая разность (0,1,1) — (1, -1,0) = (-1,2,1) отвергается (ибо число 2 в заключение указывает на несовместность утверждения +1 и отрицания —1).

Приведем текст программы Aristotle.bas для решения силлогизмов:

PRINT

SCREEN 8: COLOR 7, 1: DIM х(4, 2, 3)

PRINT " ЕСТЬ х у z НЕТ х у z": PRINT

FOR k = 1 ТО 2

FOR i = 1 ТО 2

PRINT SPC(6);

FOR j = 1 TO 3

READ x(k, i, j)

PRINT x(k, i, j);

NEXT j

NEXT i

PRINT

NEXT k

PRINT "………………………."

FOR j = 1 TO 3

x(3, 2, j) = SGN(x(1, 2, j) + x(2, 2, j))

x(3, 1, j) = x(1, 1, j) — x(2, 2, j)

x(4, 1, j) = x(2, 1, j) — x(l, 2, j)

NEXT j

PRINT SPC(6); x(3, 1, 1); x(3, 1, 2); x(3, 1, 3);

PRINT SPC(6); x(3, 2, 1); x(3, 2, 2); x(3, 2, 3)

PRINT SPC(6); x(4, 1, 1); x(4, 1, 2); х(4, 1, 3)

DATA 1,1,0, 1, -1,0

DATA 0,1,1, 0,1, -1

END

Автором написана программа Carroll.bas, позволяющая получать также чертеж диаграммы Кэрролла.

На диаграмме верхняя и нижняя половины соответствуют +х и — х, левая и правая половины соответствуют +z и — z,внутренний квадрат и его внешность соответствуют +у и — у:

Всевозможные комбинации х, у и z приводят к различным тройкам (х, у, z).

Фактически, это — трехмерная диаграмма. Поэтому для сравнения слева приведено ее представление в виде куба.

Для освоения диаграмм Кэрролла была написана простая программа-тренажер С², которая позволяет для трехбуквенной диаграммы Кэрролла (приведенной в заставке) освоить расположение ячеек, задаваемое трехмерными векторами (х, у,) В отличие от Аристотеля, у Кэрролла выводим силлогизм:

По 1-му правилу Кэрролла: из двух Химер с исключаемыми терминами различных знаков следует Химера, в которой оставляемые термины сохраняют свои знаки. За счет включения негативной силлогистики выводимы 624 модуса.