В заключение исследуем само отношение «быть моделью». Мы уже видели, что это отношение является рефлексивным, так как каждый объект является моделью самого себя. Очевидно также, что если один объект является моделью другого, то в силу сюръективности отображения первого объекта на второй, этот второй совсем не обязательно будет моделью первого объекта. Следовательно, это отношение не является симметричным. Ясно также, что если этот второй объект является моделью некоторого третьего, то и первый будет являться моделью третьего. Таким образом, отношение «быть моделью» является рефлексивным и транзитивным. Такие отношения называются отношениями нестрогого порядка.

1.3. Операции и алгебры

Введем понятие бинарной операции. Говорят, что на множестве А задана бинарная операция, если задано отображение f: А² → А, которое каждой паре элементов из А² ставит в соответствие единственный элемент из А. Бинарную операцию называют также двухместной. Ясно, что можно определить n-местную операцию, если задать отображение, которое набору (a₁…. а_n) ∈ A ставит в соответствие единственный элемент a ∈ А. Нас, однако, в дальнейшем будут интересовать только бинарные операции, которые мы будет называть просто операциями. На множестве А можно задать несколько операций, множество которых в этом случае называется сигнатурой множества А. Множество А вместе с его сигнатурой называется алгеброй. Легко видеть, что задание n-местной операции совпадает с заданием некоторого n+1-арного отношения. Таким образом, всякая алгебра является моделью.

Рассмотрим теперь множество А с заданной на нем операцией, которую мы будет обозначать Т. Нас сейчас не интересует, какова эта операция – она может быть любой, удовлетворяющей приведенному выше условию. Алгебра (А, Т) называется группоидом. Если в группоиде действует закон ассоциативности, который означает, что для любых трех элементов имеет место равенство

то такой группоид называется полугруппой. Закон ассоциативности означает, что в полугруппе можно любым способом расставлять скобки при записи действия операции на некоторое множество элементов из А. Поэтому если задана полугруппа, то скобки в записи могут быть опущены. Полугруппа, в которой существует нейтральный элемент, определяемый следующим свойством:

а также для каждого элемента а принадлежащего А существует обратный элемент a^-1 ∈ А, такой, что

называется группой. Итак, непустое множество элементов произвольной природы называется группой, если: 1) над этим множеством задана бинарная операция, 2) выполняются условия (9)—(11).

Отметим, что в определении фигурирует множество элементов произвольной природы, значит, таким множеством может быть и множество самих операций. Над таким множеством можно определить новую бинарную операции, ставящую в соответствие любой паре операций некоторую третью. Обычно в качестве такой операции рассматривают последовательное выполнение двух операций из исходного множества, для этого необходимо, чтобы всякая композиция двух операций вновь давала операцию из заданного множества. Если при этом также выполняются условия (9)—(11), то заданное множество операций является группой. Еще раз отметим, что сами операции могут быть совершенно произвольной природы.