В общем случае туманность и темнота – неприятные, хотя зачастую и неизбежные спутники общения с помощью языка. От них желательно по мере возможности избавляться.

Но жанровые туманность и темнота имеют все права появляться в нужное время на удобной для этого сцене.

Глава 7

Логика высказываний

1. Логический закон

Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний.

Логика высказываний исходит из следующих двух допущений:

1) всякое высказывание является либо истинным либо ложным (принцип двузначности);

2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.

На основе этих допущений ранее были даны строгие определения логических связок «и», «или», «если, то» и др. Эти определения формулировались в виде таблиц истинности и назывались табличными определениями связок. Соответственно, само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным её построением.

Согласно принятым определениям:

• конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны;

• дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в неё высказываний истинно;

• строгая дизъюнкция истинна, когда одно из входящих в неё высказываний истинно, а второе ложно;

• импликация истинна в трех случаях: её основание и следствие истинны; основание ложно, а следствие истинно; и основание, и следствие ложны;

• эквивалентность истинна, когда два приравниваемых в ней высказывания оба истинны или оба ложны;

• отрицательное высказывание истинно, когда отрицаемое высказывание ложно, и наоборот.

С помощью таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких ложно.

Логика высказываний – это определённая совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает:

1. неограниченное множество переменных: А, В, С,…, А1, В1, С1,…, представляющих высказывания;

2. особые символы для логических связок: & – «и», v – «или», V – «либо, либо», → – «если, то», ↔ – «если и только если», ~ – «неверно, что»;

3. скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка. Чтобы использовать меньшее количество скобок, условимся, что операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция, и только после этого импликация и эквивалентность.

Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если A есть высказывание «Сейчас день», B – высказывание «Сейчас светло» и С – высказывание «Сейчас холодно», то формула:

A → B v С, или со всеми скобками: (А → (В v С)),

представляет высказывание «Если сейчас день, то сейчас светло или холодно». Формула:

B & С → A, или ((В & С) → А),

представляет высказывание «Если сейчас светло и холодно, то сейчас день». Формула:

~ B → ~ A, или ((~ В) → (~ А)),

представляет высказывание «Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день» и т.п. Подставляя вместо переменных другие конкретные (истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.

Таковы, в частности, формулы:

(А →), ( & В), (A v ВС), ( ~ & ) и т.п.

Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она даёт истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Например, формула (~ В → ~ А) даст ложное высказывание, только если вместо B подставить ложное высказывание, а вместо A – истинное.

Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, – это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках, в неё конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.

Иными словами, внутренняя структура тавтологии гарантирует, что она всегда превратится в истинное высказывание, какими бы конкретными высказываниями мы ни заменяли входящие в неё переменные.

Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается влажное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо её переменных.

Покажем для примера что формула:

(А – В) → (~ В → ~ А)

является тавтологией. Для этого переберём варианты подстановок вместо переменных A и B конкретных высказываний. Таких вариантов, очевидно, четыре: оба подставляемых высказывания истинны, оба они ложны, первое из них истинно, а второе ложно, и первое ложно, а второе истинно.

В результирующей колонке таблицы встречается только значение «истинно», т.е. формула является всегда истинной.

Нетрудно убедиться, например, что формула:

(А & → А)

является всегда ложной, т.е. противоречием.