Читаем Лобачевский полностью

Есть в «Началах» аксиомы, настолько очевидные, что они в самом деле не вызывают никаких сомнений, например: «целое больше части», «через всякие две различные точки проходит одна, и только одна, прямая», «равные порознь третьему, равны между собой». Пятый постулат лишен подобной очевидности. Еще древним грекам казалось, что положение о параллельных есть теорема, а не аксиома, и ее следует доказать на основе других аксиом и постулатов. Решили, что пятый постулат попал в число аксиом не потому, что его нельзя доказать, а лишь потому, что сам Эвклид не смог найти доказательства. Он оставил эту работу другим математикам.

Нужно раз навсегда определить, что же такое пятый постулат, является ли он логически необходимым следствием остальных. Это следует сделать хотя бы потому, что пятый постулат занимает особое место в геометрии, он как бы делит ее на две части: на «абсолютную» геометрию, которая в своих доказательствах легко обходится без пятого постулата — ей он просто не нужен, и на «собственно эвклидову», где пятый постулат является основой основ, на нем держатся многие теоремы. Не только теория параллельных, но и тригонометрия, подобие фигур и т. д. Пятый постулат — это фундамент. А фундамент должен быть прочным.

И вот на протяжении двадцати веков математики пытаются перевести пятый постулат из разряда недоказуемых аксиом в разряд доказанных теорем. Эти усилия напоминают бег по кругу с завязанными глазами.

Иные были почти уверены, что решение наконец-то найдено! Но при строгом рассмотрении становилось ясно, что все «доказательства» сводились к замене пятого постулата другим положением, вытекающим опять же из того же самого пятого постулата. Получался заколдованный круг. Появилось множество утверждений, эквивалентных пятому постулату: уже известное нам — существует только одна прямая, параллельная данной и проходящая через данную точку; и другие — сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым; или же — для всякой геометрической фигуры существует ей подобная, но не равная ей фигура и т. п.

Немецкий философ и математик Ламберт, отчаявшись доказать постулат, воскликнул: «Доказательства эвклидова постулата могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат».

Запутался в доказательствах теории параллельных и известный французский математик Лежандр. Ничего не дали и «доказательства от противного», когда исходили из посылки, прямо противоположной доказываемому положению.

Лобачевский смело становится на путь, на котором сломили голову гениальнейшие математики, целые поколения геометров: он пытается доказать упрямый постулат. Он все еще не может смириться с мыслью, что есть вещи недоказуемые. Он перестал верить в непогрешимость Эвклида, хитрого старика в белой тоге. И откуда было знать Лобачевскому, что Эвклид все-таки прав: пятый постулат недоказуем; он аксиома, незыблемая истина.

Кропотливая логическая игра довела Лобачевского до нервного истощения. Только один раз блеснула надежда; он с сияющими глазами вбежал в аудиторию, схватил мел и, словно одержимый, стал писать на доске. Изумленные студенты поняли: свершилось небывалое — постулат о параллельных доказан! Отныне он превращается в теорему.

Однако скоро наступило разочарование: Лобачевский сам нашел ошибку в рассуждениях. Загадочный постулат так и остался незавоеванной крепостью. А Лобачевский снова слег в постель.

Русские, австрийские и прусские войска вступили в Париж, Наполеон отрекся от престола и был сослан на остров Эльба, откуда бежал и снова был разбит при Ватерлоо. Наполеоновская империя рухнула окончательно. Наполеон доживал свой век на острове Св. Елены, писал мемуары.

А в Казанском университете по-прежнему продолжалась «война ничтожеств». Никакие великие исторические события не могли отвлечь кучку немецких бездарностей во главе с Брауном и Яковкиным от борьбы за место под солнцем.

Попечитель Салтыков не забыл своего обещания сделать Николая Лобачевского профессором. Михаил Александрович сам не на шутку увлекся пятым постулатом. Он понимал, что в лице Лобачевского встретил юношу необычайной математической одаренности, и всячески старался помочь ему занять в университете подобающее место.