Книга Пачоли была посвящена прежде всего золотому сечению, или «божественной пропорции» — иррациональному числу, которое выражает соотношение двух величин и часто встречается в числовых рядах, в геометрии и в искусстве. Это число Φ (фи), которое равняется приблизительно 1,61803398, однако, поскольку речь об иррациональном числе, оно представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь. Золотым сечением рассекают отрезок на две части таким образом, что отношение всей его длины к большей части равно отношению большей части к меньшей. Допустим, мы берем отрезок длиной 100 см и делим его на две части — 61,8 см и 38,2 см. Это очень близко к золотому сечению, потому что, разделив 100 на 61,8, мы получим приблизительно такую же величину, как при делении 61,8 на 38,2: в обоих случаях она составляет около 1,618.

Евклид писал о золотом сечении еще около 300 г. до н. э., и с тех пор число Φ всегда притягивало математиков. Пачоли первым присвоил ему название «божественной пропорции». В книге, так и озаглавленной (на латыни — De divina proportione), он описывал, как именно это соотношение проявляется в геометрических телах — кубах, призмах и многогранниках. По широко распространенным представлениям, растиражированным в том числе в «Коде да Винчи» Дэна Брауна, все произведения Леонардо построены на принципе золотого сечения[389]. Даже если это так, весьма сомнительно, что это делалось осознанно. Хотя и возможно расчертить «Мону Лизу» и «Святого Иеронима» таким образом, чтобы выявить в них присутствие заветной пропорции, любые попытки доказать, что Леонардо намеренно использовал точно выверенное математическое соотношение, неубедительны.

С другой стороны, Леонардо действительно интересовался гармоничными пропорциями и внимательно изучал, как они проявляются в анатомии, науке и искусстве. Этот интерес побуждал его выискивать сходство между пропорционально сложенным человеческим телом, музыкальной гармонией и другими соотношениями, которые присутствуют в творениях природы и воспринимаются как прекрасные.

Преобразование форм

Леонардо-художника особенно интересовало, как преобразуются формы предметов при движении. Когда он наблюдал за течением воды, у него сложилось представление о сохранении объема: при перетекании определенного количества воды форма ее изменяется, но объем остается прежним.

Понимание того, как преобразуются объемы, было очень полезно для художника — тем более для такого, как Леонардо, который чаще всего изображал тела в движении. Это помогало ему представлять, как форма предмета способна искажаться или преображаться, при том что объем его остается неизменным. «Вещь, которая движется, забирает столько пространства, сколько теряет», — писал он[390]. Это относится не только к количеству перелившейся воды, но и к согнутой руке, и к перекрученному человеческому торсу.

Леонардо все больше занимал вопрос о том, как можно использовать геометрию для понимания природных явлений, и он принялся исследовать разные теоретические случаи, в которых наблюдалось сохранение объема при преобразовании одной геометрической фигуры в другую. Например, можно было взять квадрат и преобразовать его в круг, который имел бы ровно такую же площадь. А в трехмерном пространстве можно было бы показать, как сфера превращается в куб, сохраняя прежний объем.

Силясь произвести подобные преобразования и постоянно записывая свои догадки, Леонардо способствовал возникновению топологии — раздела математики, который изучает свойства пространств, остающихся неизменными при различных деформациях. Мы видим, как он испещряет тетрадь за тетрадью (то упорно и одержимо, то рассеянно и машинально) серповидными фигурами, которые затем преобразует в прямоугольники той же площади, а иногда проделывает то же самое с пирамидами и конусами[391]. Леонардо умел зарисовывать подобные преобразования, просто представляя их мысленно, а иногда он проводил такие эксперименты при помощи мягкого воска. Но он не очень-то умел обращаться с алгебраическими инструментами геометрии, которые требовали перемножать квадраты, квадратные корни, кубы и кубические корни чисел. «Научись умножению корней у маэстро Луки», — записал он в тетради, имея в виду Пачоли. Однако Леонардо так и не овладел этими премудростями и потому до конца жизни пытался совершать геометрические преобразования, прибегая не к уравнениям, а к рисункам[392].

Он начал собирать воедино свои записи, посвященные этой теме, а в 1505 году объявил о намерении написать книгу, «озаглавленную „О преобразовании“, т. е. о преобразовании одного тела в другое без убавления или возрастания материи»[393]. Этот трактат постигла та же судьба, что и все прочие: он так и остался блестящим черновиком на страницах тетрадей, но не превратился в печатную книгу.

Квадратура круга