Читаем Гаусс. Теория чисел полностью

Ферма (1601-1665) — французский юрист и математик, которого Белл назвал королем математиков-любителей. Этим прозвищем Ферма обязан тому, что никогда не посвящал себя исключительно данной науке, которую считал скорее хобби, однако именно Ферма, наряду с Рене Декартом (1596-1650), был одним из основных математиков первой половины XVII века. Он внес значительный вклад в теорию чисел, которой начал интересоваться после прочтения «Арифметики» Диофанта. На полях одной из страниц именно этого произведения он записал знаменитую теорему, ставшую известной как «последняя теорема Ферма», что не совсем правильно, поскольку речь идет только о гипотезе. В этой гипотезе утверждалось, что не существует таких целых чисел х, у, z, что можно было бы составить уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ при n >= 3. Очевидно, что для n = 2 это действительно возможно, достаточно взять З² + 4² = 5². Гаусс никогда не занимался последней теоремой Ферма, и на это были свои причины. В 1816 году Парижская академия предложила премию за доказательство (или опровержение) гипотезы Ферма. Ольберс, немецкий астроном, друг Гаусса, уговаривал математика поучаствовать в конкурсе («Мне кажется справедливым, дорогой Гаусс, чтобы Вы занялись этим»), но ученый устоял перед искушением. Ответ математик дал лишь два месяца спустя, и в нем он изложил свое мнение о последней теореме Ферма. «Я очень благодарен Вам за новости относительно Парижской премии, но признаю, что теорема Ферма в изолированном виде представляет очень небольшой интерес для меня, поскольку я легко могу найти множество подобных утверждений, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть». Знаменитое высказывание Ферма было полностью доказано только в 1995 году британским ученым Эндрю Уайлсом.

Числа Ферма, названные так в честь Пьера де Ферма — первого, кто их изучал, — имеют следующий вид:

F_n = 2²ⁿ+1,

где n — натуральное число.

Ферма определил такие простые числа с намерением, очень далеким от того, чтобы решать задачи построения многоугольников с помощью линейки и циркуля (а на самом деле удалось доказать, что не все числа такого вида простые).

Гаусс показал, что для построения правильного многоугольника с n сторонами с помощью линейки и циркуля необходимо, чтобы нечетные простые множители n были различными простыми числами Ферма. То есть правильный многоугольник можно построить, если число его сторон — это степень числа 2, простое число Ферма или произведение некоторой степени числа 2 (включая единицу) и различных простых чисел Ферма. Это то, что в математике известно как достаточное условие. Итак, если многоугольник имеет форму, определенную Гауссом, его можно построить. Естественным образом возникает вопрос, является ли это также необходимым условием. То есть нужно проверить, только ли такие многоугольники можно построить с помощью линейки и циркуля.